Παρουσίαση/Προβολή

(MECH409) -  ΕΥΣΤΑΘΙΟΣ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΙΔΗΣ

Περιγραφή Μαθήματος

Το μάθημα επικεντρώνεται στη μελέτη της θεωρίας και εφαρμογών διαφορικών εξισώσεων, καλύπτοντας πτυχές όπως οι ακριβείς, γραμμικές και ανώτερης τάξης διαφορικές εξισώσεις, ο μετασχηματισμός Laplace, τα συστήματα εξισώσεων κ.α. Η διδασκαλία εστιάζει στην κατανόηση των διαφόρων περιπτώσεων διαφορικών εξισώσεων και την εφαρμογή κατάλληλων μαθηματικών μεθόδων για την επίλυση τους.

Ύλη μαθήματος:

1. Εισαγωγικά Στοιχεία:

   • Κατηγορίες Διαφορικών Εξισώσεων (Δ.Ε.).
   • Ορισμοί, προβλήματα αρχικών τιμών.

2. Διαφορικές Εξισώσεις Πρώτης Τάξης:

   • Διαφορικές Εξισώσεις Χωριζόμενων Μεταβλητών.
   • Ακριβείς Δ.Ε., Ολοκληρωτικοί Παράγοντες.
   • Γραμμικές Δ.Ε.
   • Ομογενείς Εξισώσεις.
   • Επίλυση με Αντικατάσταση, Υποβιβασμός Τάξης.
   • Εξισώσεις Bernoulli και Ricatti
   • Ορθογώνιες Τροχιές.

3. Διαφορικές Εξισώσεις Ανώτερης Τάξης:

   • Εξισώσεις β΄ τάξης, Γραμμικές Δ.Ε. με σταθερούς συντελεστές, γραμμική ανεξαρτησία λύσεων.
   • Ορίζουσα Wronski, Ομογενείς/Μη Ομογενείς Εξισώσεις, μέθοδος των προσδιοριστέων συντελεστών, μέθοδος μεταβολής των παραμέτρων, .
   • γραμμικές Δ.Ε. με ΜΗ σταθερούς συντελεστές, μέθοδος του υποβιβασμού τάξης, Εξισώσεις Euler, Γενίκευση σε Δ.Ε. ανώτερης τάξης.

4. Μετασχηματισμός Laplace:

   • Ορισμοί, Ιδιότητες, Αντίστροφος Μετασχηματισμός.
   • Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Τιμών, Συνέλιξη.
   • Ολοκληρωτικές Εξισώσεις, Βηματική Συνάρτηση, Συνάρτηση Δέλτα του Dirac.

5. Επίλυση με Δυναμοσειρές:

   • Αναλυτικές Συναρτήσεις, Μέθοδος Frobenius.
   • Ιδιάζοντα Σημεία, Λύση σε Περιοχή Ομαλού Σημείου.

6. Συστήματα Διαφορικών Εξισώσεων:

   • Υποβιβασμός Δ.Ε. σε Σύστημα.
   • Μέθοδοι Επίλυσης, γραμμική ανεξαρτησία, Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα.
   • Γραμμικά Συστήματα με Σταθερούς Συντελεστές, Διάγραμμα Φάσεων.

7. Μιγαδικοί Αριθμοί και Συναρτήσεις:

   • Ορισμοί, Πράξεις, Γεωμετρική Ερμηνεία.
   • Μιγαδικές Εξισώσεις.

8. Μιγαδικές Συναρτήσεις:

   • Βασικές Συναρτήσεις Μίας Μιγαδικής Μεταβλητής.
   • Παραγώγιση, Εξισώσεις Cauchy-Riemann, Αναλυτικές Συναρτήσεις.

Ημερομηνία δημιουργίας

Τρίτη 28 Νοεμβρίου 2023