Παρουσίαση/Προβολή

🔹 Εισαγωγικά

Πολλά προβλήματα στις επιστήμες και την τεχνολογία περιγράφονται μαθηματικά με τη μορφή Συνήθων Διαφορικών Εξισώσεων (ΣΔΕ). Οι αναλυτικές μέθοδοι επίλυσής τους εφαρμόζονται μόνο σε έναν περιορισμένο αριθμό περιπτώσεων. Έτσι, είμαστε αναγκασμένοι να καταφύγουμε σε αριθμητικές μεθόδους και αλγορίθμους, προκειμένου να επιλύσουμε αυτές τις εξισώσεις αριθμητικά στον υπολογιστή.

Αυτές οι μέθοδοι αποκτούν ακόμη μεγαλύτερη σημασία σήμερα, καθώς οι σύγχρονοι υπολογιστές μπορούν σε ελάχιστο χρόνο να παράγουν λύσεις με υψηλή ακρίβεια.

🔹 Κύριο Μέρος

Κατά τη διάρκεια του μαθήματος, θα αναλύσουμε βασικά θέματα που σχετίζονται με την αριθμητική επίλυση διαφορικών εξισώσεων, όπως:

• Διακριτοποίηση: Το συνεχές πρόβλημα της ΣΔΕ μετατρέπεται σε ένα διακριτό ανάλογο, το οποίο μπορεί να υλοποιηθεί στον υπολογιστή.

• Σύγκλιση: Η αριθμητική λύση που υπολογίζει ο υπολογιστής πρέπει να προσεγγίζει την αληθινή (αναλυτική) λύση της εξίσωσης.

• Ακριβής μεταφορά του αριθμητικού αλγορίθμου στο προγραμματιστικό περιβάλλον, αποφεύγοντας σφάλματα στρογγυλοποίησης και αριθμητικής αστάθειας.

• Καλή δομή και αρχιτεκτονική κώδικα, ώστε η μαθηματική λογική να μεταφράζεται σωστά σε προγραμματιστική υλοποίηση.

🔹 Δομή Μαθήματος – Τρεις Γενικές Ενότητες

📌 1ο Μέρος – Αναλυτική επίλυση ΣΔΕ (μοντέλο προβλήματος)

• Παρουσιάζουμε επιγραμματικά τη διαδικασία αναλυτικής επίλυσης μιας διαφορικής εξίσωσης σε ένα απλό μοντέλο προβλήματος.

• Η επίλυση μιας συνήθους διαφορικής εξίσωσης σημαίνει την εύρεση μιας ρητής (αναλυτικής) έκφρασης της συνάρτησης $y(x)$.
  Τέτοια λύση ονομάζεται κλειστή ή πεπερασμένη μορφή λύσης.

• Θα εξετάσουμε τη διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης:

  dydx=f(x,y)\frac{dy}{dx} = f(x, y)dxdy​=f(x,y)

📌 2ο Μέρος – Αριθμητικές μέθοδοι πρώτης τάξης

• Μελετάμε αναλυτικά αριθμητικές μεθόδους και τους αντίστοιχους αλγορίθμους για την αριθμητική επίλυση της εξίσωσης

  dydx=f(x,y)\frac{dy}{dx} = f(x, y)dxdy​=f(x,y)

• Στις περισσότερες περιπτώσεις, αντικαθιστούμε τη διαφορική εξίσωση με μια εξίσωση διαφορών, από την οποία προκύπτει το διακριτό ανάλογο.

• Θα εφαρμοστούν τεχνικές όπως:

  • Η μέθοδος Picard

  • Οι σειρές Taylor

• Οι παραγόμενοι αλγόριθμοι θα υλοποιηθούν στον υπολογιστή, κατά προτίμηση σε γλώσσα C++ (όχι MATLAB).

📌 3ο Μέρος – Αριθμητικές μέθοδοι δεύτερης τάξης & ΜΔΕ

• Εξετάζουμε αριθμητικές μεθόδους για την επίλυση πιο γενικών διαφορικών εξισώσεων δεύτερης τάξης.

• Θα καλύψουμε:

  • Μεθόδους πεπερασμένων διαφορών

  • Μεθόδους πεπερασμένων στοιχείων

• Θα δούμε πώς υλοποιούνται στον υπολογιστή για την αριθμητική επίλυση διαφορικών εξισώσεων μερικών παραγώγων δεύτερης τάξης (ΜΔΕ).

📚 Υλικό και Πηγές

Για τις ανάγκες του μαθήματος, θα χρησιμοποιήσουμε:

• Σημειώσεις του διδάσκοντα, διαθέσιμες στο e-Class και στο παρακάτω Google Drive φάκελο:

  🔗 Google Drive Folder με υλικό μαθήματος

• Αποσπάσματα από τα εξής βιβλία:

  1. Αριθμητικές Μέθοδοι για Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις
     ➤ Γ. Ακριβής, Β. Δουγαλής

  2. Αριθμητικές Μέθοδοι για Μηχανικούς και Επιστήμονες
     ➤ A. Gilat, V. Subramaniam

google drive folder

https://drive.google.com/drive/u/0/folders/1vwT34_Hh_of3S4mEs4lyKlA5MPJnDpcI

ο διδασκων

Ι Τ