Παρουσίαση/Προβολή

(CHEMENG201) -  Μάριος Αναγνώστου

Περιγραφή Μαθήματος

1. Ο χώρος ℝn: Διανύσματα, πράξεις, εσωτερικό και εξωτερικό γινόμενο, μέτρο διανύσματος, απόσταση, γωνία μεταξύ διανυσμάτων, προβολή διανύσματος, κάθετα και παράλληλα διανύσματα, περιοχή σημείου, εσωτερικά/εξωτερικά/συνοριακά σημεία, χαρακτηρισμοί συνόλων, εξισώσεις ευθειών και επιπέδων.

2. Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών: Πεδίο ορισμού, γράφημα, ισοσταθμικές καμπύλες/επιφάνειες, όρια, διαδοχικά όρια, συνέχεια.

3. Μερικές παράγωγοι: Παράγωγοι α΄ τάξης, ιδιότητες, γεωμετρική ερμηνεία, παράγωγοι β΄ και ανώτερης τάξης, μεικτές παράγωγοι, πεπλεγμένες μορφές.

4. Αλυσιδωτή παραγώγιση: Διάφορες περιπτώσεις, διαφορισιμότητα, ολικό διαφορικό, γεωμετρική ερμηνεία διαφορικού, γραμμική προσέγγιση, σφάλματα, εφαπτόμενο επίπεδο.

5. Παράγωγος κατά κατεύθυνση: Ορισμός, γεωμετρική ερμηνεία, υπολογισμός, ιδιότητες, κλίση συνάρτησης.

6. Ακρότατα, τύπος Taylor: Τοπικά και ολικά ακρότατα, κριτήριο α΄ παραγώγου, σαγματικά σημεία, κριτήριο β΄ παραγώγων, δεσμευμένα ακρότατα, πολλαπλασιαστές Lagrange, τύπος του Taylor, εκτίμηση σφάλματος.

7. Διπλά ολοκληρώματα: Τόποι, ορισμός, γεωμετρική ερμηνεία, ιδιότητες, κανονικοί τόποι, διαδοχικές ολοκληρώσεις, εφαρμογές, αλλαγή μεταβλητών, Ιακωβιανή ορίζουσα, υπολογισμός σε πολικές συντεταγμένες.

8. Τριπλά ολοκληρώματα: Ορισμός, ορθογώνιοι τόποι, κανονικοί τόποι, υπολογισμός, εφαρμογές, αλλαγή μεταβλητών, κυλινδρικές και σφαιρικές συντεταγμένες.

9. Διανυσματικές συναρτήσεις: Ορισμός, παραμετρικές εξισώσεις καμπύλης, λείες καμπύλες, προσανατολισμός, μήκος τόξου, φυσική παραμέτρηση, όριο, συνέχεια, παράγωγος, γεωμετρική ερμηνεία, εφαπτόμενο διάνυσμα.

10. Επικαμπύλια ολοκληρώματα: Επικαμπύλια α΄ είδους, γεωμετρική ερμηνεία, υπολογισμός, ιδιότητες, επικαμπύλια β΄ είδους, υπολογισμός, ιδιότητες, εφαρμογές.

11. Βαθμωτά και διανυσματικά πεδία: Διανυσματικές γραμμές, κλίση, απόκλιση, περιστροφή, ιδιότητες, συντηρητικά πεδία, συναρτήσεις δυναμικού, σωληνοειδή πεδία, ανεξαρτησία από τη διαδρομή ολοκλήρωσης.

12. Θεώρημα του Green: Διατύπωση, γεωμετρική ερμηνεία, επέκταση, υπολογισμός εμβαδού.

13. Επιφανειακά ολοκληρώματα: Επιφάνειες, παραμετρικές εξισώσεις, εφαπτομενικά και κάθετα διανύσματα, υπολογισμός εμβαδού, επιφανειακά ολοκληρώματα α΄ είδους, δίπλευρες επιφάνειες, επιφανειακά ολοκληρώματα διανυσματικών πεδίων.

Μαθησιακοί στόχοι
Μετά την επιτυχή παρακολούθηση και εξέτασή τους στο μάθημα, οι φοιτητές θα είναι σε θέση να:
• παραγωγίζουν συναρτήσεις πολλών μεταβλητών,
• χρησιμοποιούν τα συστήματα κυλινδρικών και σφαιρικών συντεταγμένων,
• προσδιορίζουν ακρότατα (ελεύθερα/δεσμευμένα) και σαγματικά σημεία,
• γραμμικοποιούν συναρτήσεις και να βρίσκουν εφαπτόμενα επίπεδα,
• υπολογίζουν διπλά και τριπλά ολοκληρώματα,
• διαχειρίζονται διανύσματα,
• παραγωγίζουν διανυσματικές συναρτήσεις,
• αναγνωρίζουν αστρόβιλα και σωληνοειδή πεδία,
• προσδιορίζουν συναρτήσεις δυναμικού συντηρητικών πεδίων,
• περιγράφουν παραμετρικά καμπύλες και επιφάνειες,
• υπολογίζουν την κυκλοφορία κατά μήκος καμπύλης και τη ροή μέσω επιφάνειας διανυσματικών πεδίων,
• αξιοποιούν τα θεωρήματα Green, Gauss και Stokes.

Ημερομηνία δημιουργίας

Τρίτη 22 Μαρτίου 2022