Παρουσίαση/Προβολή

(CHEMENG205) -  ΡΑΦΑΕΛΛΑ ΕΛΕΝΗ ΣΩΤΗΡΟΠΟΥΛΟΥ - ΧΡΗΣΤΟΣ ΓΡΟΜΠΑΝΟΠΟΥΛΟΣ

Περιγραφή Μαθήματος

Σκοπός

Σκοπός του μαθήματος αυτού είναι να διδαχθεί ο φοιτητής την προσεγγιστική επίλυση σύνθετων προβλημάτων που δεν επιδέχονται ακριβή λύση με εφαρμογή αριθμητικών μεθόδων και την υλοποίηση των λύσεων αυτών με προγράμματα Η/Υ. Μετά τη διδασκαλία του μαθήματος αυτού ο φοιτητής θα πρέπει να περιέχει ολοκληρωμένες προσεγγίσεις στην κατεύθυνση των βασικών αρχών και της χρήσης των κλασικών μεθόδων αριθμητικής ανάλυσης στην επιστήμη του Μηχανικού με παραδείγματα και εφαρμογές. Επιπλέον, θα πρέπει να αποκτήσει γνώσεις βασικών αρχών, ώστε να μπορεί στο μέλλον να εμβαθύνει στην ανάπτυξη και βελτίωση τέτοιων μεθόδων.

Περίγραμμα μαθήματος

• Αριθμητική ανάλυση είναι ο κλάδος των μαθηματικών που ασχολείται με την ανάπτυξη αξιόπιστων αλγοριθμικών μεθοδολογιών για την υπολογιστική επίλυση μαθηματικών προβλημάτων.
• Οι αριθμητικές μέθοδοι (προσομοίωση) αποτελούν τεχνικές με τη βοήθεια των οποίων διατυπώνονται μαθηματικά προβλήματα με τρόπο ώστε να είναι δυνατό να επιλυθούν με αριθμητικές πράξεις.
• Στόχος μαθήματος:
  • Εύρεση της προσεγγιστικής λύσης ενός πολύπλοκου προβλήματος μέσω της ανάπτυξης κατάλληλου αλγορίθμου,
  • Υπολογισμός του σφάλματος ως μέσο εκτίμησης της χρησιμότητας του αριθμητικού µας μοντέλου.
• Μεθοδολογία Επίλυσης προβλημάτων:
  • ΦΥΣΙΚΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ
  • ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΜΟΝΤΕΛΟΥ (χαρακτηρίζεται συνήθως από ένα μεγάλο πλήθος εξισώσεων και αγνώστων, που καθιστούν την ακριβή επίλυση του προβλήματος πρακτικά αδύνατη, λόγω του τεράστιου όγκου πράξεων που απαιτούνται)
  • ΜΕΛΕΤΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΜΟΝΤΕΛΟΥ
  • ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ (πεπερασμένο πλήθος πράξεων και βημάτων, που καθιστά εφικτή µια λύση του προβλήματος κατά προσέγγιση) και ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΦΑΛΜΑΤΟΣ ΥΠΟΛ. ΜΟΝΤΕΛΟΥ
  • ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΥΛΟΠΟΙΗΣΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΟΥ ΜΟΝΤΕΛΟΥ (πεπερασμένος αριθμός στοιχειωδών πράξεων, που κάποιος που δε γνωρίζει καθόλου το πρόβλημα να μπορεί να τις εκτελέσει, π.χ. ο Η.Υ.)
  • ΜΕΛΕΤΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΙΚΩΝ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ (Καθορισμός ακρίβειας και ανοχής, μελέτη ευστάθειας αλγορίθμου, επίδραση σφαλμάτων στρογγύλευσης και αποκοπής στους υπολογισμούς)
  • ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΤΙΚΗ ΛΥΣΗ

Περιεχόμενα

• Βασικές έννοιες και στοιχεία ανάλυσης.
• Παράσταση αριθμών σε Η/Υ, σφάλματα αριθμητικών λύσεων και διάδοσή τους.
• Μη γραμμικές Αλγεβρικές Εξισώσεις: Μέθοδοι Picard, διχοτόμησης, γραμμικής παρεμβολής, Newton -Raphson και τέμνουσας για μια εξίσωση. Μέθοδος Newton-Raphson για συστήματα μη-γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων.
• Παρεμβολή και προσαρμογή καμπύλης
• Συστήματα Γραμμικών Αλγεβρικών Εξισώσεων. Άμεσες μέθοδοι: κανόνας Cramer, Απαλοιφή Gauss, μερική οδήγηση (Partial Pivoting), Μέθοδος Doolittle - Παραγοντοποίηση πίνακα (LU). Εύρεση αντίστροφου πίνακα. Επαναληπτικές μέθοδοι: Μέθοδοι Jacobi, Gauss-Seidel, S.O.R.
• Αριθμητική Ολοκλήρωση. Μέθοδοι Newton-Cotes, απλός και σύνθετος κανόνας τραπεζίου, μέθοδος Simpson 1/3 και 3/8. Τύποι ολοκλήρωσης Gauss. Πολλαπλά ολοκληρώματα.
• Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις-Προβλήματα Αρχικών Τιμών: Άμεση και Έμμεση μέθοδος Euler, Μέθοδοι Runge-Kutta. Αριθμητική ευστάθεια.
• Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις-Προβλήματα Οριακών Τιμών: Επίλυση με τη χρήση μεθόδων πεπερασμένων διαφορών.

Διδασκαλία

Προφορικές εβδομαδιαίες παραδόσεις, Εβδομαδιαία εργαστήρια.

Αξιολόγηση

Η αξιολόγηση του μαθήματος θα γίνει με τον ακόλουθο τρόπο:

• Εξέταση γραπτή με 2 προόδους στη θεωρία και 2 προόδους στο MATLAB κατά την διάρκεια του εξαμήνου.
  
  • Εξέταση στο εργαστήριο (MATLAB) : 50% του τελικού βαθμού (βάση 25%)
  • Εξέταση ΘΕΩΡΙΑΣ: 50% (βάση 25%)
• Κατ’ οίκoν ασκήσεις (προαιρετικές).

Εβδομαδιαίο πρόγραμμα διδασκαλίας των μαθημάτων - Ύλη

Πρόγραμμα μαθημάτων θεωρίας 

Διάλεξη 1^η: Βασικές έννοιες και στοιχεία ανάλυσης.

Διάλεξη 2^η: Παράσταση αριθμών σε Η/Υ, σφάλματα αριθμητικών λύσεων και διάδοσή τους.

Διάλεξη 3^η: Μη γραμμικές Αλγεβρικές Εξισώσεις: Μέθοδοι Picard, διχοτόμησης, γραμμικής παρεμβολής,

Διάλεξη 4^η: Newton -Raphson και τέμνουσας για μια εξίσωση. Μέθοδος Newton-Raphson για συστήματα μη-γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων.

Διάλεξη 5^η: 1η Πρόοδος

Διάλεξη 6^η: Παρεμβολή: Πολυωνυμική παρεμβολή. Παρεμβολή Lagrange, Newton, Παρεμβολή με κυβικές splines

Διάλεξη 7^η: Μέθοδος ελάχιστων τετραγώνων

Διάλεξη 8^η: Συστήματα Γραμμικών Αλγεβρικών Εξισώσεων. Άμεσες μέθοδοι: κανόνας Cramer, Απαλοιφή Gauss, μερική οδήγηση (Partial Pivoting)

Διάλεξη 9^η:  Μέθοδος Doolittle - Παραγοντοποίηση πίνακα (LU). Εύρεση αντίστροφου πίνακα. Επαναληπτικές μέθοδοι: Μέθοδοι Jacobi, Gauss-Seidel, S.O.R.

Διάλεξη 10^η Αριθμητική Ολοκλήρωση. Μέθοδοι Newton-Cotes, απλός και σύνθετος κανόνας τραπεζίου,

Διάλεξη 11^η: Μέθοδος Simpson 1/3 και 3/8. Τύποι ολοκλήρωσης Gauss. Πολλαπλά ολοκληρώματα.

Διάλεξη 12^η: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις-Προβλήματα Αρχικών Τιμών: Άμεση και Έμμεση μέθοδος Euler, Μέθοδοι Runge-Kutta. Αριθμητική ευστάθεια. Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις-Προβλήματα Οριακών Τιμών: Επίλυση με τη χρήση μεθόδων πεπερασμένων διαφορών.

Διάλεξη 13^η: 2η Πρόοδος

Πρόγραμμα Εργαστηρίων (Περιεχόμενα στο Ιστολόγιο του eclass, ανά εβδομάδα)

Εργ.0 Εισαγωγή στο Matlab/Octave

Εργ. 1-2 Εξοικείωση με το MATLAB/Octave

Εργ. 3 Προσεγγιστικές διαδικασίες και ανάλυση σφαλμάτων αποκοπής και στρογγυλοποίησης

Εργ. 4 Άσκηση Α2 Προσεγγιστικές διαδικασίες και Άσκηση A3 για επίλυση μη-γραμμικών εξισώσεων

Εργ. 5 Μη γραμμικές εξισώσεις μέθοδοι διαδοχικών προσεγγίσεων (Picard), Διχοτόμησης και Τέμνουσας

Εργ. 6 1η Πρόοδος

Εργ. 7 Παρεμβολή - Splines

Εργ. 8 Άμεσες Μέθοδοι για την Αριθμητική Επίλυση Γραμμικών Συστημάτων

Εργ. 9 Επαναληπτικές Μέθοδοι επίλυσης γραμμικών εξισώσεων

Εργ. 10 Αριθμητική Ολοκλήρωση

Εργ. 11 2η Πρόοδος

Προτεινόμενη βιβλιογραφία (Εύδοξος)

• Αριθμητικές Μέθοδοι για Μηχανικούς, Chapra S. - Canale R.
• Αριθμητικές Μέθοδοι και Εφαρμογές για Μηχανικούς, 4η Έκδοση, Σαρρής Ι.- Καρακασίδης Θ.
• Αριθμητική Ανάλυση με εφαρμογές σε MATHEMATICA και MATLAB, Παπαγεωργίου Γ. Τσίτουρας Χ.
• Αριθμητικές Μέθοδοι για Μηχανικούς, 7η Έκδοση Βελτιωμένη, Chapra S. - Canale R., Φραγκίσκος Κουτελιέρης (επιμέλεια)
• ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΓΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ, ΝΤΑΟΥΤΙΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ, ΜΑΣΤΡΟΓΕΩΡΓΟΠΟΥΛΟΣ ΣΠΥΡΟΣ, ΣΙΔΗΡΟΠΟΥΛΟΥ ΕΥΜΟΡΦΙΛΗ
• Numerical Methods for engineers, Chapra S.C.

Ημερομηνία δημιουργίας

Τετάρτη 25 Μαρτίου 2020